پدر و مادر وی اهل زنجان بودند اما چند سالی را به خاطر نا امنی منطقه، به باکو مهاجرت کرده بودند که عزیز، دومین فرزند خانواده، در آنجا تولد یافت.
ایشان پس از تحصیلات دبیرستان، به علوم حوزوی روی آورد و پس از 5 سال تحصیل در مسجد لرزاده تهران راهی دیار علم و تقوا، قم شد.
حضرت آیت الله خوشوقت، دروس خارج فقه و اصول را نزد حضرات آیات عظام سید حسین بروجردی و امام خمینی (ره) سپری کرد و حکمت و فلسفه و تفسیر را نزد علامه طباطبایی (ره) آموخت.
انفاس ملکوتی رادمرد فرزانه، آیت الله العظمی محمد حسین طباطبایی، ایشان را بیش از دیگران با دقایق و رموز اخلاق و مدارج معرفت آشنا ساخت و همین امر ایشان را مورد توجه و محبت ویژه علامه قرار داد.
آیت الله خوشوقت پس از پایان دروس حوزوی، به تهران بازگشت و در سن 33 سالگی ازدواج کرد. حاصل ازدواج ایشان، دو فرزند پسر و چهار دختر است.
پس از پیروزی شکوهمند انقلاب اسلامی، طی حکمی از سوی امام خمینی(ره) به عنوان نماینده ویژه ایشان در ستاد عالی انقلاب فرهنگی منصوب شدند و نیز اغلب در زمینه های فرهنگی، ارشاد و هدایت جوانان و تربیت فضلای مستعد، نقشی بزرگ ایفا نمود.
اقامت در تهران، برپایی نماز جماعت در مسجد امام حسن مجتبی(ع)، تربیت طلاب و فضلای حوزه علمیه، درس اخلاق و توجه به خواسته ها و حاجات مردم، انس با جوانان، بسیجیان، رزمندگان و خانواده های شهدا در طول بیش از پنجاه سال از ایشان چهره ای دوست داشتنی و مردمی ساخت.
وی به جهت فهم عمیق و آرای بدیعی که در آیات و روایات و دعاها به ویژه صحیفه سجادیه و نهج البلاغه داشت، گنجینه‌ای از تقوا و زهد و معارف در عصر حاضر به شمار می رفت.
شیوه سلوک و تقرب به خدا نزد آیت الله خوشوقت تا حد زیادی برگرفته از علامه طباطبایی است و خلاصه آن، این است که برای رشد ایمان و سلوک در صراط مستقیم الهی، دو امر لازم است؛ اول ترک گناه و انجام واجبات و دوم، ذکر قلبی و لسانی خداوند متعال.
آیت الله خوشوقت، به رغم اجتناب از زندگی در شهر قم و تدریس سنتی علوم حوزوی در آن شهر مقدس، طی دو دهه اخیر، مرتبا در حوزه علمیه قم حضور می‌یافت و طلاب تشنه سیر و سلوک حقیقی، از محضر ایشان بهره ها می بردند.
دفاع صریح و غیرتمندانه ایشان از انقلاب اسلامی، حضرت امام خمینی(ره) و مقام معظم رهبری دام ظله العالی، و نیز حضور مکرر ایشان در جبهه های نبرد حق علیه باطل در دوران دفاع مقدس، زبانزد خاص و عام است.
حضرت آیت الله خوشوقت روز پانزدهم بهمن ماه سال 1391، در حالی که اعمال حج عمره را به پایان برده بود، به علت عفونت حاد ریوی در بیمارستانی در شهر مکه بستری شد. شدت عفونت ریوی، موجب عفونی شدن خون ایشان و نیز از کار افتادن کلیه های وی شده بود.
روند درمان وی طی بیش از دو هفته به گونه ای پیش رفته بود که امکان انتقال ایشان به تهران را در روز اول اسفند، فراهم ساخته بود اما بازگشت دوباره عفونت ریوی، اختلال عملکرد قلب و ضعف شدید جسمانی، موجب شد حضرت آیت الله خوشوقت، که عمری را خالصانه برای خدا و تبلیغ راه راستین حضرت پروردگار زندگی کرده بود، در کنار خانه خدا، به آغوش خدا باز گردد.
آیت الله عزیزالله خوشوقت، دوم اسفند سال 1391 درگذشت.
